Der Test dauerte 35 Minuten.
Bei den Aufgaben war jeweils genau eine Antwortmöglichkeit richtig.


1. Gegeben sei (a+b+c+d)^{100}. Welchen Koeffizienten hat der Term a^{80}bc^{13}d^6 ?

Antwortmöglichkeiten:

/ 100 \ / 100 \ / 100 \ / 100 \
|     |*|     |*|     |*|     |
\ 80  / \ 1   / \ 13  / \ 6   /

/ 100 \ / 20 \ / 19 \ / 6 \
|     |*|    |*|    |*|   |
\ 80  / \ 1  / \ 13/  \ 6 /

/ 100 \ / 20 \ / 19 \ / 6 \
|     |+|    |+|    |+|   |
\ 80  / \ 1  / \ 13/  \ 6 /

/ 100 \ / 100 \ / 100 \ / 100 \
|     |+|     |+|     |+|     |
\ 80  / \ 1   / \ 13  / \ 6   /

2^80 + 2^1 + 2^13 + 2^6

(und andere)


2. Es sollen aus 100 Kandidaten 5 gewählt werden. Jeder wählt auf seinem Stimmzettel genau 5 Kandidaten, die Kandidaten werden auf dem Stimmzettel in eine Reihenfolge (lineare Ordnung) gebracht. Kandidat A sei einer der 100 Kandidaten. Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Stimmzettel auszufüllen, sodass A unter den 5 Kandidaten ist?

Antwortmöglichkeiten:

/ 99 \
|    |*5
\ 4  /

/ 100 \
|     |*5!-5
\ 5   /

/ 100 \
|     |*5!
\ 5   /

/ 100 \
|     |*4!
\ 5   /

/ 99 \
|    |*5!
\ 4  /

/ 99 \
|    |*4!
\ 4  /

(und andere)

												/ 1 2 3 4 \					/ 1 2 3 4 \
3. Gegeben sind die Permutationen \pi_{start} = |		  | und \pi_{end} = |		  | .
												\ 4 1 3 2 /					\ 3 4 2 1 /

Wie muss \pi gewählt werden, sodass sich, wenn erst \pi_{start} und anschließend \pi angewandt wird, \pi_{end} ergibt?

Antwortmöglichkeiten:

/ 1 2 3 4 \
|		  |
\ 4 1 2 3 /

/ 1 2 3 4 \
|		  |
\ 4 1 3 2 /

/ 1 2 3 4 \
|		  |
\ 2 3 4 1 /

/ 1 2 3 4 \
|		  |
\ 3 4 2 1 /

/ 1 2 3 4 \
|		  |
\ 4 3 2 1 /

(und andere)

4. Die Anzahl der Möglichkeiten eine Zahl n als geordnete Summen aus 1en und 4en zu schreiben sei x_n (z.B. 9 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4 = 4 + 1 + 4 = 4 + 4 + 1; Es gibt natürlich noch weitere Darstellungsmöglichkeiten für 9)
Gesucht ist die Rekursionsgleichung x_n (n>=5):

Antwortmöglichkeiten:

x_n = x_{n-1} + x_{n-4}

x_n = x_{n-1} + 4*x_{n-4}

x_n = 4*x_{n-1}*x_{n-4}

x_n = 4*x_{n-1} + x_{n-4}

(und andere)


5. Gegeben sei die partielle Ordnung ({1,2,3,5,6,10,12}, | ), wobei '|' die Teilbarkeitsrelation darstellt. Was sind die unteren Schranken von 6 und 10?

Antwortmöglichkeiten:

3

1,2,3

1,2

2

1

2,3

1,2,3,5

(und andere)


6. Eine Klausur wird in 4 unterschiedlichen Räumen geschrieben. 12 Tutoren sollen auf diese zur Klausurbeaufsichtigung verteilt werden. In jedem Raum soll es mindestens einen Tutor geben. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Tutoren auf die Räume zu verteilen?

Antwortmöglichkeiten:

S(12,4)*4!
S(12,4)
P(12,4)
12*7*6*4!
\sum_{k=1}^4{S(12,k)}

(und andere)

7. Gegeben ist folgendes Hasse-Diagramm einer partiellen Ordnung über einer (5n+1)-elementigen Menge.

	·
   / \
  /   \
 ·     ·
 |     |
 ·	   ·
 \     /
  \   /
  	·
   / \
  /   \
 ·     ·
 |     |
 ·	   ·
 \     /
  \   /
  	·

  	.
  	.
  	.

  	·
   / \
  /   \
 ·     ·
 |     |
 ·	   ·
 \     /
  \   /
  	·


Wie viele lineare Erweiterungen dieser partiellen Ordnung gibt es?

Antwortmöglichkeiten:

2*n
4*n
6*n
8*n
2^n
4^n
6^n
8^n