Bericht über eine mündliche Prüfung im Modul "Wissenschaftliches Rechnen" bei Herrn Dr.
Fuhrmann (im Mathebereich):

Frage: Wir haben die Wärmeleitgleichung mit homogenen Dirichlet
Randbedingungen, ein 2D-Gebiet und möchten das FEM anwenden. Wie gehen
wir vor?
Ich konnte ziemlich frei reden, ich habe einfach losgeredet und alles
gesagt, was ich über FEM weiß, dann hat er auch nach Lax-Milgram und
dem Lemma von Cea gefragt, ich habe einfach grob das Vorgehen
skizziert.

Dann hat er noch gefragt, wie lösen wir das resultierende lineare
Gleichungssystem und was können wir über die Matrix sagen?
Dann habe ich angefangen mit Jacobi und Gauß-Seidel, dann hat er
gefragt unter welchen Bedingungen diese Verfahren konvergieren, dann
habe ich angefangen die Fehlerabschätzung herzuleiten, die auch im
Skript ist, mit der Matrix I-M^(⁻1)*A. Dann habe ich gesagt, wenn der
Spektralradius davon kleiner als 1 ist, konvergiert die Iteration.

Was können wir über die Norm sagen?
Die beiden Sätze von Saad sagen unter welchen Bedingungen Konvergenz
gegen 0 gilt und wie der Spektralradius ist. Der Satz von Perron-
Frobenius sagt, es gibt unter bestimmten Bedingungen einen Eigenwert,
der gleich der Spektralnorm ist, leider wusste ich nicht alle
Voraussetzungen, dann war die Zeit schon zuende aber ich habe schnell
noch dazwischengequestscht, dass Gauss-Seidel und Jacobi konvergieren,
wenn A eine M-Matrix ist und außerdem die Inverse von M größer gleich 0
und außerdem N >= 0 ist.

Note: 1,3